こんにちは。今回はラプラス変換でよく使われる「微分定理」を定義通りに計算して証明していきます。
ラプラス変換がよく分からないという方はまずこちらを読んで概念を理解することをおすすめします。（ラプラス変換をめちゃくちゃ分かりやすく説明しております）
さっそく微分定理の証明
問題
\(\frac{df(t)}{dt}のラプラス変換\mathscr{L}[\frac{df(t)}{dt}]について\)
$$\mathscr{L}[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$$
が成り立つことを証明せよ
※ただし、\(f(t)\)のラプラス変換を\(F(s)\)とする。
\(\frac{df(t)}{dt}のラプラス変換\mathscr{L}[\frac{df(t)}{dt}]について\)
$$\mathscr{L}[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$$
が成り立つことを証明せよ
※ただし、\(f(t)\)のラプラス変換を\(F(s)\)とする。
まずは定義式に代入していきます。
$$\mathscr{L}[\frac{df(t)}{dt}]=\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt$$
ここで、\(h(t)=e^{-st}、g'(t)=\frac{df(t)}{dt}\)とおいて部分積分法を適用します。
| $$h(t)$$ | $$e^{-st}$$ | $$g'(t)$$ | $$\frac{df(t)}{dt}$$ |
| $$h'(t)$$ | $$-se^{-st}$$ | $$g(t)$$ | $$f(t)$$ |
部部積分の復習
$$\int_{a}^{b}h(t)g'(t)dt$$
$$=[h(t)g(t)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}h'(t)g(t)dt$$
$$\int_{a}^{b}h(t)g'(t)dt$$
$$=[h(t)g(t)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}h'(t)g(t)dt$$
$$\int_{0}^{\infty}\frac{df(t)}{dt}e^{-st}dt$$
$$=[f(t)e^{-st}]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}-se^{-st}f(t)dt$$
$$=f(\infty)e^{-\infty}-f(0)e^{0}+s\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$
$$=sF(s)-f(0)$$
まとめ
お疲れさまでした。
数学の証明と言えば難しいものが多いですが、今回は簡単にできました。
公式を覚えるだけではなく導出もできると良いですね。
では、また。
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