こんにちは。今回はsinωtとcosωtのラプラス変換を求めていきたいと思います。
普通ラプラス変換表を用いることが多いですが、ここでは定義に従って計算していきます。
計算手順
①sinωtを指数関数で表す（オイラーの公式）
②定義に従って積分
③式を整理して完了
①なんで指数関数で表すの？と思った方もいると思います。
実際に式を見ると分かるのですが、ラプラス変換を計算する際に指数関数で表しておくと計算がしやすいからです。
お願い）一部数式が長く、モバイル版ではみ出している部分があります。指で画面を縮小していただくと見えるようになります。お手数をおかけしますが、よろしくお願いします。
sinωtの証明問題
問題
\(f(t)=\mathrm{sin}\omega t\)のラプラス変換が\(\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)で表されることを示せ。
\(f(t)=\mathrm{sin}\omega t\)のラプラス変換が\(\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)で表されることを示せ。
まず、オイラーの公式を用いて\(\mathrm{sin}\omega t\)を指数関数に変形していきます。
\(e^{j\omega t}=\mathrm{cos} \omega t+j\mathrm{sin} \omega t\)
-)\(e^{-j\omega t}=\mathrm{cos} \omega t-j\mathrm{sin} \omega t\)
—————————————————
\(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}=2j\mathrm{sin} \omega t\)
-)\(e^{-j\omega t}=\mathrm{cos} \omega t-j\mathrm{sin} \omega t\)
—————————————————
\(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}=2j\mathrm{sin} \omega t\)
$$\mathrm{sin}\omega t=\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$$
ここから、ラプラス変換の定義式に代入して計算していきましょう。
$$F(S)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt=\frac{1}{2j}\int_{0}^{\infty}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})e^{-st}dt$$
$$=\frac{1}{2j}\int_{0}^{\infty}(e^{-(s-j\omega)t}-e^{-(s+j\omega)t})dt$$
$$=\frac{1}{2j}[-\frac{e^{-(s-j\omega)t}}{s-j\omega}+\frac{e^{-(s+j\omega)t}}{s+j\omega}]_{0}^{\infty}$$
$$=\frac{1}{2j}(\frac{1}{s-j\omega}-\frac{1}{s+j\omega})$$
$$=\frac{1}{2j}(\frac{(s+j\omega)-(s-j\omega)}{s^{2}+\omega^{2}})$$
$$=\frac{1}{2j}(\frac{2j\omega}{s^{2}+\omega^{2}})$$
$$=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$$
cosωtの証明問題
問題
\(f(t)=\mathrm{cos}\omega t\)のラプラス変換が\(\frac{s}{S^{2}+\omega^{2}}\)で表されることを示せ。
\(f(t)=\mathrm{cos}\omega t\)のラプラス変換が\(\frac{s}{S^{2}+\omega^{2}}\)で表されることを示せ。
まず、オイラーの公式を用いて\(\mathrm{cos}\omega t\)を指数関数に変形していきます。
\(e^{j\omega t}=\mathrm{cos} \omega t+j\mathrm{sin} \omega t\)
+)\(e^{-j\omega t}=\mathrm{cos} \omega t-j\mathrm{sin} \omega t\)
—————————————————-
\(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}=2\mathrm{cos} \omega t\)
+)\(e^{-j\omega t}=\mathrm{cos} \omega t-j\mathrm{sin} \omega t\)
—————————————————-
\(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}=2\mathrm{cos} \omega t\)
$$\mathrm{cos}\omega t=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$$
ここから、ラプラス変換の定義式に代入して計算していきましょう。
$$F(S)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})e^{-st}dt$$
$$=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}(e^{-(s-j\omega)t}+e^{-(s+j\omega)t})dt$$
$$=\frac{1}{2}[-\frac{e^{-(s-j\omega)t}}{s-j\omega}-\frac{e^{-(s+j\omega)t}}{s+j\omega}]_{0}^{\infty}$$
$$=\frac{1}{2}(\frac{1}{s-j\omega}+\frac{1}{s+j\omega})$$
$$=\frac{1}{2}(\frac{(s+j\omega)+(s-j\omega)}{s^{2}+\omega^{2}})$$
$$=\frac{1}{2}(\frac{2s}{s^{2}+\omega^{2}})$$
$$=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}$$
まとめ
いかがでしたか？
一見難しそうに見えますが、1つずつ式を追っていけば何とかできましたね。
今回用いた三角関数→指数関数の変形は、よく出てきますのでぜひマスターしてみてくださいね！
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